松坂和夫「集合・位相入門」(2)

私がひっかっかたところの話である.

松坂和夫「集合・位相入門」第3章 §3 A) 整列集合に関する一命題(105頁)

補題1(106頁)の条件;

  • ( a ) 各\(W_{\lambda}\)に,それぞれ順序\(\leqq_{\lambda}\)が定義されている.
  • ( b ) \(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\),\(\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)\)のいずれか一方が他方の切片になっている.

に対して,証明 ( 2 ) で

  • (条件 ( b ) より)\(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\),\(\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)\)のいずれか一方が他方の切片,したがって,部分順序集合であるから,・・・

と書いてある.

この部分を読んで,本当に部分順序集合であるといえるのか? と思った.

条件 ( a ) より,\(W_{\lambda’}\)上において,\(\leqq_{\lambda}\) と \(\leqq_{\lambda’}\) は一般には異なる.
\(\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)\) が \(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\) の切片になっているとすると,ある\(a\in W_{\lambda}\)に対して,
\[
\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda}\right) = \left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right) \left< a\right>
\]
であり,
\[
\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda}\right)\ne\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)
\]
となりそうなものだ.

つい最近になって,
\[
\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda}\right)=\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)
\]
となるということを,あの条件 ( b ) が示していることに気付いた.

それまでは,( b ) に「かつ部分順序集合である」という条件が必要だろうと思っていた.

一般的なかたちで書いておく;

\(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\),\(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\) を整列集合とする.

ここで,台集合 \(J\) に対して,

  • \(J\) が \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の切片である.

というとき, \(J\) は \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の部分順序集合であると考えることが多い.したがって, \(J\) を順序集合として考えるとき,\(\left(J,\,\leqq_{W}\right)\) と考えるのが自然である.

また,一般に,\(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\ne \left(J,\,\leqq_{W}\right)\) である.

一方で,

  • \(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\) が \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の切片である.

というとき,ある \(a\in W\) に対して,
\[
\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>
\]
であり,
\[
\left(J,\,\leqq_{W}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>
\]
である.したがって,
\[
\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(J,\,\leqq_{W}\right)
\]
である.

※私はこういうところでけつまづくのです.

ついでながら,マストドンのほうもよろしくお願いします; @tanaka2017@mathtod.online

 

 

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コメント 返信は期待しないよーに

  1. Unknown より:

    失礼します。
    (J,≦J)= (W,≦W)〈a〉から(J,≦W)= (W,≦W)〈a〉の部分はJの範囲で≦Wと≦Jは同じ順序だから置き換えても良いと言うことですか?
    ご教授よろしくお願いします。

    • タナカ タナカ より:

      そういうことです.

      (コメントを頂いて,改めて自分の書いた記事を読み直したのですが,ずいぶん回りくどい書き方をしてしまったなと.順序集合の相当の定義の通りなので,最初からそう書いておけば良かったと今になって思いました(苦笑).)

  2. Unknown より:

    ありがとうございました。

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