松坂和夫「集合・位相入門」（2）

私がひっかっかたところの話である．

松坂和夫「集合・位相入門」第3章 §3 A) 整列集合に関する一命題（105頁）

補題1（106頁）の条件；

• ( a ) 各\(W_{\lambda}\)に，それぞれ順序\(\leqq_{\lambda}\)が定義されている．
• ( b ) \(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\)，\(\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)\)のいずれか一方が他方の切片になっている．

に対して，証明 ( 2 ) で

• （条件 ( b ) より）\(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\)，\(\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)\)のいずれか一方が他方の切片，したがって，部分順序集合であるから，・・・

と書いてある．

この部分を読んで，本当に部分順序集合であるといえるのか？　と思った．

条件 ( a ) より，\(W_{\lambda’}\)上において，\(\leqq_{\lambda}\) と \(\leqq_{\lambda’}\) は一般には異なる．
\(\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)\) が \(\left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right)\) の切片になっているとすると，ある\(a\in W_{\lambda}\)に対して，
\[
\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda}\right) = \left(W_{\lambda},\,\leqq_{\lambda}\right) \left< a\right>
\]
であり，
\[
\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda}\right)\ne\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)
\]
となりそうなものだ．

つい最近になって，
\[
\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda}\right)=\left(W_{\lambda’},\,\leqq_{\lambda’}\right)
\]
となるということを，あの条件 ( b ) が示していることに気付いた．

それまでは，( b ) に「かつ部分順序集合である」という条件が必要だろうと思っていた．

–

一般的なかたちで書いておく；

\(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\)，\(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\) を整列集合とする．

ここで，台集合 \(J\) に対して，

• \(J\) が \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の切片である．

というとき， \(J\) は \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の部分順序集合であると考えることが多い．したがって， \(J\) を順序集合として考えるとき，\(\left(J,\,\leqq_{W}\right)\) と考えるのが自然である．

また，一般に，\(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\ne \left(J,\,\leqq_{W}\right)\) である．

一方で，

• \(\left(J,\,\leqq_{J}\right)\) が \(\left(W,\,\leqq_{W}\right)\) の切片である．

というとき，ある \(a\in W\) に対して，
\[
\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>
\]
であり，
\[
\left(J,\,\leqq_{W}\right) = \left(W,\,\leqq_{W}\right)\left< a\right>
\]
である．したがって，
\[
\left(J,\,\leqq_{J}\right) = \left(J,\,\leqq_{W}\right)
\]
である．

–

※私はこういうところでけつまづくのです．

ついでながら，マストドンのほうもよろしくお願いします； @tanaka2017@mathtod.online

 

 

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