演算の定義(群・環・体の準備)

群・環・体の定義の前に,演算についてこれぐらい書いておいてもらわないと,私にはわからないので,自分なりに演算の定義をまとめておく.

拙著「集合論」を読まれた方には見慣れた書き方と思うが,私の「書式」には本文がほとんど無く,「定義・定理・証明・補足 」が淡々と続く.以下でもその方法を踏襲している(自分で「タナカ式」とよんでいます).

なお,集合論(今回の場合は「写像」)については既知であるとして説明している.

✅手元の iPhone で確認したところ, スマホモードではTeXコードが表示され,Webモードでは,数式の表示が一部うまくいかないようです.

演算

定義(演算).$X$ を集合とする.写像 $g:X\times X \rightarrow X$ を

  • 集合 $X$ 上の演算

という.

定義(積).集合 $X$ 上に演算 $g$ が定義されているとする.このとき,$\left(a,\, b\right)\in X\times X$ の像 $g(a,\, b)$ をといい
$$a\circ b$$
とあらわす.

補足.集合 $X$ 上に定義されている演算$g$ を,その積の記号を用いて

演算 $\circ$

とよくあらわす.

定義(単位元).集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする.ある要素 $e\in X$ が存在して,任意の $a\in X$ に対して,$$a\circ e=e\circ a=a$$であるとき,$e$ を単位元という.

補足.演算 $\circ$ における単位元 $e$ を

$0$
$1$

などとよくあらわす.

定義(逆元).集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする.任意の $a\in X$ に対して,ある $b\in X$ が存在して,
$$a\circ b=b\circ a=e$$
であるとき,$b$ を「$a$ の逆元」という.

補足.演算 $\circ$ における $a$ の逆元を

$-a$
$a^{-1}$

などとよくあらわす.

定義(可逆元).集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする.任意の $a\in X$ に対して,$a$ の逆元が存在するならば,$a$ を可逆元という.

定義(可換).集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする.任意の $a\in X$ に対して,ある $b\in X$ が存在して,

$a\circ b=b\circ a$

であるとき,「$a,\, b$ は可換である」という.

定義(結合律).集合 $X$ 上に演算 $\circ$ が定義されているとする.任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して,

$\left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right)$

であるとき,これを結合律という.

定義(分配律).集合 $X$ 上に2つの演算 $\circ,\,\diamond$ が定義されているとする.任意の $a,\, b,\, c\in X$ に対して,
$$a\diamond\left(b\circ c\right)=\left(a\diamond b\right)\circ\left(a\diamond c\right)$$
であるとき,これを分配律という.

以上である.

これらの定義は,群・環・体の定義の中で述べられることが多いが,私はそれを見て,どうにもスッキリせず,モヤモヤしていた.

モヤモヤの原因が何であるのかわからなかったのだが,試行錯誤するうち,演算に関する定義を抜き出して,先に述べてから,群・環・体の定義を書けば流れるように読めることがわかった.

やはり,わからないと思ったら,自分で再構成するほか無いようだ.

というわけで,次回は(多分)群・環・体の定義である.

 

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