論理記号「 $\mid$ 」の真偽値を以下のように定めてみる；
A & B & A\mid B\\
\bigcirc & \bigcirc & \times\\
\bigcirc & \times & \times\\
\times & \bigcirc & \times\\
\times & \times & \bigcirc\\
\end{array}$
すると，$\lnot A$ は
A & A & \lnot A & A\mid A\\
\bigcirc & \bigcirc & \times & \times\\
\times & \times & \bigcirc & \bigcirc\\
\end{array}$
より，$A\mid A$ とあらわせる．
また，$A\lor B$ は，
A & B & A\lor B & A\mid B & A\mid B & \left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)\\
\bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\
\bigcirc & \times & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\
\times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\
\times & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times\\
\end{array}$
より，$\left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)$ とあらわせる．
んで，$A\land B \Longleftrightarrow \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$ なので，
\[\begin{align*} A\land B & \Longleftrightarrow\lnot\left(\lnot A\lor\lnot B\right)\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left[\left(A\mid A\right)\lor\left(B\mid B\right)\right]\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\\ & \qquad\qquad\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \end{align*}\]
より，$A\land B$ は，\[\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \]とあらわせる．
最後に，$A\rightarrow B \Longleftrightarrow \lnot A\lor B$ なので，\[\begin{align*} A\rightarrow B & \Longleftrightarrow\lnot A\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left(A\mid A\right)\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right] \end{align*}\]より，$A\rightarrow B$ は，\[\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\]とあらわせる．
–
いかがでしたか， 論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ￢ 」はひとつの論理記号「 $\mid$ 」であらわせることがわかりましたね！
皆さんも「 $\mid$ 」を使って，命題論理や述語論理を再構築してみてはどうでしょうか（面倒臭い
今回の記事の元ネタは，瀬山士郎『はじめての現代数学』からでした．
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コメント 返信は期待しないよーに
ときどきブログを読ませていただいてますが、コメントは初めてさせていただきます。
もう少し一般にｎ個の元を持つ集合A=｛1,2,…,n｝に対して
f(x,y)=max(x,y)+1 (x,y≠nのとき)
f(n,y)=f(x,n)=1
とすると任意の演算A^n→Aはfの組み合わせでかけるという話があるそうです。それのn=2（○=1,×=2）の場合ですね。
（私の知る証明はn=2のとき、n=2^kのとき、一般のとき、の順番で行うので、この記事で扱われている話題が一般論から出る、ということにはなりませんが。）
なるほど，$n=2$ のとき，$f$ はNANDっぽくなるのですね．
いろんなところに面白い話があるものだなと思います．
（コメント＆情報ありがとうございます）