論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ¬ 」を一つの論理記号であらわしてみた

論理記号「 $\mid$ 」の真偽値を以下のように定めてみる;

$\begin{array}{ccc}
A & B & A\mid B\\
\bigcirc & \bigcirc & \times\\
\bigcirc & \times & \times\\
\times & \bigcirc & \times\\
\times & \times & \bigcirc\\
\end{array}$

すると,$\lnot A$ は

$\begin{array}{cccc}
A & A & \lnot A & A\mid A\\
\bigcirc & \bigcirc & \times & \times\\
\times & \times & \bigcirc & \bigcirc\\
\end{array}$

より,$A\mid A$ とあらわせる.

また,$A\lor B$ は,

$\begin{array}{cccccc}
A & B & A\lor B & A\mid B & A\mid B & \left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)\\
\bigcirc & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\
\bigcirc & \times & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\
\times & \bigcirc & \bigcirc & \times & \times & \bigcirc\\
\times & \times & \times & \bigcirc & \bigcirc & \times\\
\end{array}$

より,$\left(A\mid B\right)\mid\left(A\mid B\right)$ とあらわせる.

んで,$A\land B \Longleftrightarrow \lnot(\lnot A \lor \lnot B)$ なので,
\[\begin{align*} A\land B & \Longleftrightarrow\lnot\left(\lnot A\lor\lnot B\right)\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left[\left(A\mid A\right)\lor\left(B\mid B\right)\right]\\ & \Longleftrightarrow\lnot\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \\ & \Longleftrightarrow\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\\ & \qquad\qquad\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \end{align*}\]

より,$A\land B$ は,\[\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \mid\left\{ \left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid\left(B\mid B\right)\right]\right\} \]とあらわせる.

最後に,$A\rightarrow B \Longleftrightarrow \lnot A\lor B$ なので,\[\begin{align*} A\rightarrow B & \Longleftrightarrow\lnot A\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left(A\mid A\right)\lor B\\ & \Longleftrightarrow\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right] \end{align*}\]より,$A\rightarrow B$ は,\[\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\mid\left[\left(A\mid A\right)\mid B\right]\]とあらわせる.

いかがでしたか, 論理記号「 ∧ ∨ ⇒ ¬ 」はひとつの論理記号「 $\mid$ 」であらわせることがわかりましたね!

皆さんも「 $\mid$ 」を使って,命題論理や述語論理を再構築してみてはどうでしょうか(面倒臭い

今回の記事の元ネタは,瀬山士郎『はじめての現代数学』からでした.

 

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コメント 返信は期待しないよーに

  1. 河下希 より:

    ときどきブログを読ませていただいてますが、コメントは初めてさせていただきます。
    もう少し一般にn個の元を持つ集合A={1,2,…,n}に対して
    f(x,y)=max(x,y)+1 (x,y≠nのとき)
    f(n,y)=f(x,n)=1
    とすると任意の演算A^n→Aはfの組み合わせでかけるという話があるそうです。それのn=2(○=1,×=2)の場合ですね。
    (私の知る証明はn=2のとき、n=2^kのとき、一般のとき、の順番で行うので、この記事で扱われている話題が一般論から出る、ということにはなりませんが。)

    • タナカ タナカ より:

      なるほど,$n=2$ のとき,$f$ はNANDっぽくなるのですね.
      いろんなところに面白い話があるものだなと思います.
      (コメント&情報ありがとうございます)

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