前回のエントリー「演算の定義（群・環・体の準備）」の続きである．
群
定義（半群）．G を空ではない集合とする．G 上に演算 ∘ が定義されており，次の性質を満たしているとする；
- 【結合律】任意の a,b,c∈G に対して，(a∘b)∘c=a∘(b∘c)．
このとき，(G,∘) を半群という．
定義（単位元付半群）．G を空ではない集合とする．G 上に演算 circ が定義されており，次の性質を満たしているとする；
- 【結合律】任意の a,b,c∈G に対して，(a∘b)∘c=a∘(b∘c)．
- 【単位元】ある要素 e∈G が存在して，任意の a∈G に対して，a∘e=e∘a=a．
このとき，(G,∘) を単位元付半群という．
定義（群）．G を空ではない集合とする．G 上に演算 ∘ が定義されており，次の性質を満たしているとする；
- 【結合律】任意の a,b,c∈G に対して，(a∘b)∘c=a∘(b∘c)．
- 【単位元】ある要素 e∈G が存在して，任意の a∈G に対して，a∘e=e∘a=a．
- 【逆元】任意の a∈G に対して，ある b∈G が存在して，a∘b=b∘a=e．
このとき，(G,∘) を群という．
補足．誤解の恐れが無ければ，(G,∘) を単に G とあらわす．
定義（可換群）．G を群とする．G が次の性質を満たしているとする；
- 【可換】任意の a,b∈G に対して，a∘b=b∘a．
このとき，G は可換群であるという．
環
定義（環）．集合 A に2つの演算，加法 (+) と乗法 (∙) が定義されているとする．A が次の性質を満たしているとする；
- A は加法に関して可換群である；
-
- 【加法の単位元】ある要素 e0∈A が存在して，任意の a∈A に対して，a+e0=e0+a=a．
- 【加法の逆元】任意の a∈A に対して，ある−a∈Aが存在して，a+(−a)=−a+a=e0．
- 【加法の結合律】任意の a,b,c∈A に対して，(a∘b)∘c=a∘(b∘c)
- 【加法が可換】任意の a,b∈A に対して，a∘b=b∘a．
- A は乗法に関して単位元付半群である；
-
- 【乗法の単位元】ある要素 e1∈A が存在して，任意のa∈Aに対して， a∙e1=e1∙a=a．
-
- 【乗法の結合律】任意の a,b,c∈A に対して， (a∙b)∙c=a∙(b∙c)．
- 【分配律】任意の a,b,c∈A に対して，a∙(b+c)=a∙b+a∙c．
このとき，A を環という．
定義（可換環）．A を環とする．A の乗法に関して，任意の a,b∈A が可換であるとき，すなわち，a∙b=b∙aならば，A を可換環という．
定義（零元）．A を環とする．A の加法に関する単位元 e0 を零元という．
補足．環の零元は 0 とあらわすことが多い．
定義（単位元）．A を環とする．A の乗法に関する単位元 e1 を単に単位元という．
補足．環の単位元は 1 とあらわすことが多い．
体
定義（可除環）．集合 K に，2つの演算，加法と乗法が定義されているとする．K が次の2つの条件を満たしているとする；
- K は環である．
- 【乗法の逆元】任意の a∈K に対して，ある a−1∈K が存在して，a∙a−1=a−1∙a=e．
このとき，K を可除環という．
補足．くだけた書き方をすれば，可除環とは
- 加法に関して可換群であり，
- 乗法に関して群をなし，
- 分配律を満たすとき，
をいう．
定義（体）．可除環 K の乗法が，K の任意の要素 a,b に対して可換ならば，K を体という．
補足．可除環の場合と同様な書き方をすれば，体とは
- 加法について可換群であり，
- 乗法についても可換群をなし，
- 分配律を満たすとき，
をいう．
–
以上，群・環・体の定義である．
演算に関する定義と，群環体の定義は分けて欲しいと思っていたし，そうしないと自分がわからない．
一般論としてはどうかわからないが，私としては，こういう順番で書いてもらうのが一番わかりやすい．
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