対応の定義に伴う基本命題

前回のエントリー「対応の部分集合による定義」の続き,対応の(部分集合による)定義に伴う基本命題とその証明である.

$\newcommand{\krc}{,\,}$
$\newcommand{\KRMapByGraph}[3]{\left(#2\krc #3\krc #1\right)}$
$\newcommand{\krcc}{,\;}$
$\newcommand{\KRMap}[3]{#1:#2\to #3}
\newcommand{\KRMapp}[3]{#2\overset{#1}{\longrightarrow}#3}
\newcommand{\KRMapGraph}[1]{G\left(#1\right)}
\newcommand{\KRSetC}[2]{\left\{#1\;\middle|\;#2\right\}}
\newcommand{\KRMapImgElm}[2]{#1\left(#2\right)}
\newcommand{\krEmptySet}{\varnothing}
\newcommand{\KRMapTo}[2]{#1\mapsto #2}
\newcommand{\KRMapMapTo}[5]{\KRMap{#1}{#2}{#3}\; ;\;\KRMapTo{#4}{#5}}
\newcommand{\KROrdPair}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\KRMapDomain}[1]{D\left(#1\right)}
\newcommand{\KRMapRange}[1]{V\left(#1\right)}
\newcommand{\KRMapComposite}[2]{#2\circ #1}$

定理1.$\varGamma$ を $A$ から $B$ への対応とする.このとき,次のことが成り立つ; \[
\KRMapDomain{\varGamma^{-1}} =\KRMapRange{\varGamma}.
\]
証明.対応の定義域の定義および対応の値域の定義より,

\[
\begin{align*}
\KRMapDomain{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{b\krc a}\in \KRMapGraph{\varGamma^{-1}}} \\
\KRMapRange{\varGamma} & =\KRSetC{b}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\end{align*}
\]

である.また,逆対応の定義より,
\[
\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}
\]
である.したがって,$\KRMapDomain{\varGamma^{-1}}=\KRMapRange{\varGamma}$.

定理2.$\varGamma$ を $A$ から $B$ への対応とする.このとき,次のことが成り立つ;
\[
\KRMapRange{\varGamma^{-1}} =\KRMapDomain{\varGamma}.
\]
証明.対応の定義域の定義および値域の定義より,
\[
\begin{align*}
\KRMapRange{\varGamma^{-1}} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}}\\
\KRMapDomain{\varGamma} & =\KRSetC{a}{\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}}
\end{align*}
\]
であり,また,逆対応の定義より,
\[
\KROrdPair{b\krc a}\in\KRMapGraph{\varGamma^{-1}}\Longleftrightarrow\KROrdPair{a\krc b}\in\KRMapGraph{\varGamma}
\]
である.したがって,$\KRMapRange{\varGamma^{-1}}=\KRMapDomain{\varGamma}$.

定理3.$\varGamma$ を $A$ から $B$ への対応とする.このとき,次のことが成り立つ;
\[
\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}  =\varGamma.
\]
証明.$\varGamma$ の逆対応 $\KRMap{\varGamma^{-1}}{B}{A}$ と $\varGamma^{-1}$ の逆対応 $\KRMap{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}{A}{B}$ を考える.逆対応の定義より,
\[
\begin{align*}
\left(a,\,b\right)\in G\left(\varGamma\right) & \Longleftrightarrow\left(b,\,a\right)\in G\left(\varGamma^{-1}\right)
& \Longleftrightarrow\left(a,\,b\right)\in G\left(\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}\right)
\end{align*}
\]
である.したがって,$\KRMapGraph{\varGamma}=\KRMapGraph{\left(\varGamma^{-1}\right)^{-1}}$.対応の相当の定義より,$(\varGamma^{-1})^{-1}=\varGamma$.

補足.上記,アホアホしいほど,アホ丁寧な証明だが,このぐらい書かないと私がわからないのだ.

次回のエントリーでは,写像の定義にについて書く予定.気長に待たれよ.

 

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